微分函数公式在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微分函数公式是求导运算的基础，掌握这些公式有助于领会函数的局部行为和变化动向。下面内容是对常见微分函数公式的拓展资料。
一、基本微分公式
| 函数形式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac1}x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac1}x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的微分法则
1. 链式法则
若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\fracdy}dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
\fracdy}dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ y = \fracu(x)}v(x)} $，则
$$
\fracdy}dx} = \fracu'(x)v(x) – u(x)v'(x)}[v(x)]^2}
$$
4. 隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义的隐函数 $ y = f(x) $，可两边对 $ x $ 求导，并解出 $ \fracdy}dx} $。
三、高阶导数
某些函数的高阶导数具有规律性，例如：
– $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数仍为 $ e^x $
– $ f(x) = \sin x $ 的四阶导数回到原函数
– $ f(x) = \cos x $ 的四阶导数也回到原函数
四、应用举例
– 速度与加速度：若位移函数为 $ s(t) $，则速度为 $ s'(t) $，加速度为 $ s”(t) $
– 极值点判断：通过求导找到临界点，再利用二阶导数判断是否为极大或极小值
– 曲线斜率：导数表示函数图像在某一点的切线斜率
五、拓展资料
微分函数公式是微积分的核心内容其中一个，掌握这些公式不仅能进步计算效率，还能加深对函数性质的领会。不同类型的函数有不同的导数制度，尤其是复合函数和高阶导数的应用更为复杂。因此，在实际难题中应结合具体函数形式灵活运用这些公式。
通过不断练习和应用，可以更熟练地使用微分工具解决各类数学和现实难题。
