韦达定理所有公式韦达定理是代数学中一个重要的定理，由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Fran?ois Viète）提出。该定理主要研究多项式方程的根与系数之间的关系，尤其适用于一元二次方程和更高次的多项式方程。下面内容是关于韦达定理的所有主要公式的拓展资料。

一、韦达定理的基本概念

韦达定理揭示了多项式方程的根与其系数之间的关系。对于一个一元n次多项式：

$$

a_nx^n + a_n-1}x^n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0

$$

如果它的根为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，那么这些根与系数之间存在下面内容关系：

– 根的和：$ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\fraca_n-1}}a_n} $

– 根的两两积之和：$ x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_n-1}x_n = \fraca_n-2}}a_n} $

– 根的三三积之和：$ x_1x_2x_3 + \cdots + x_n-2}x_n-1}x_n = -\fraca_n-3}}a_n} $

– …

– 所有根的乘积：$ x_1x_2\cdots x_n = (-1)^n \fraca_0}a_n} $

这些关系在解题时非常有用，尤其是在无法直接求出根的情况下，可以通过系数来推断根的性质。

二、常见情况下的韦达定理公式

下面以常见的二次、三次多项式为例，列出具体的韦达定理公式。

多项式次数	方程形式	根的和	根的积	其他相关公式
二次方程	$ ax^2 + bx + c = 0 $	$ x_1 + x_2 = -\fracb}a} $	$ x_1x_2 = \fracc}a} $	$ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 $
三次方程	$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $	$ x_1 + x_2 + x_3 = -\fracb}a} $	$ x_1x_2x_3 = -\fracd}a} $	$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \fracc}a} $

三、应用实例

1. 二次方程应用

设方程为 $ 2x^2 – 5x + 3 = 0 $，根据韦达定理：

– 根的和：$ x_1 + x_2 = \frac5}2} $

– 根的积：$ x_1x_2 = \frac3}2} $

若已知其中一个根为1，则另一个根为 $ \frac5}2} – 1 = \frac3}2} $，验证其乘积是否为 $ \frac3}2} $，结局正确。

2. 三次方程应用

设方程为 $ x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 $，则：

– 根的和：$ x_1 + x_2 + x_3 = 6 $

– 根的两两积之和：$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 11 $

– 根的积：$ x_1x_2x_3 = 6 $

通过试根法可得三个实根为1、2、3，验证符合上述公式。

四、拓展资料

韦达定理提供了一种通过多项式系数来推导根的性质的技巧，广泛应用于代数难题中。无论是二次方程还是高次多项式，都可以利用韦达定理简化计算经过，进步解题效率。

掌握这些公式有助于快速分析多项式方程的根的情况，特别是在没有具体数值的情况下，可以进行符号推理或构造方程。

如需进一步了解韦达定理在高等数学中的延伸（如对称多项式、根与系数的关系推广等），可继续深入进修多项式学说。